Bài 2: Hàm số lũy thừa

A. Tóm tắt lý thuyết: Hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= xα, với α là một số thực đã cho. Các hàm số  lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:

– Nếu α ∈ ℤthì tập các định là ℝ.

– Nếu α ∈ ℤ ℤthì tập các định là ℝ{0}.

– Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

– Hàm số y= xα  có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)= αxα-1

– Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số

y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα(x))= αuα-1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xcó tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xn)= nxn-1 và  ∀x ∈ J, (un(x))= nun-1(x)u(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xcó tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xn)= nxn-1 và  ∀x ∈ J, (un(x))= nun-1(x)u(x) nếu  u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J

B. Giải bài tập 1,2,3,4,5 trang 60,61 SGK Giải Tích 12

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

2016-08-03_204229

Đáp án bài 1:

a) 2016-08-03_204320Xác định khi 1 -x > 0 ⇔ x <1. Tập xác định là (-∞;1)

2016-08-03_204641xác định khi 2 -x² > 0 ⇔ -√2 < x < √2
Tập xác định là (-√2;√2)

c) y = (x² – 1)-² xác định khi x² -1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1
Tập xác định là R\{-1;1}

d) y = (x² – x -2)√2 xác định khi x² -x–2 >0 ⇔ x < -1; x > 2
Tập xác định là (-∞; -1) ∪ (2; +∞)


Bài 2: Tìm các đạo hàm của các hàm số:

2016-08-03_205915

Đáp án  bài 2:

2016-08-03_205955


Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

2016-08-03_210105

Giải:a) 1. Tập xác định D = (0;+∞)
2. Sự biến thiên
Đạo hàm: y’ = 4/3 x(mũ 1/3) > 0 ∀x > 0
Ta có y’ > 0 trên khoảng (0; +∞) nên hàm số đồng biến
Bảng biến thiên:

2016-08-03_210819

2016-08-03_211035

b) y = x-³
1. Tập xác định: R \ {0}
2. Sự biến thiên

2016-08-03_211253

=> đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy
4. Đồ thị:

2016-08-03_211509


Bài 4: Hãy so sánh các số sau với 1:

2016-08-03_211655

Hướng dẫn giải bài 4:

2016-08-03_211753


Bài 5: Hãy so sánh các cặp số sau:

2016-08-03_211923

Hướng dẫn giải bài 5:

2016-08-03_212008