Ôn tập chương I

Bài 1. Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

2016-07-26_103541

Giải: * Xét hàm số y = -x³ + 2x² – x + 7
Tập xác định D = R

2016-07-26_110527

Vậy hàm số luôn nghịch biến trong từng khoảng (-∞;1) và (1;+∞)


Bài 2. Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số
y = x4 – 2x² + 2

Giải: Hàm số y = x4 – 2x² + 2 có đạo hàm y’ = 4x³ – 4x = 0 ⇔ x = 0, x = ±1

Đạo hàm cấp hai y” = 12x² – 4
theo quy tắc 2, tìm cực trị ta thấy
y”(0) = -4 < 0 => điểm cực đại Xcđ = 0
y”(-1) = 8 > 0, y”(1) = 8 > 0
⇒ các điểm cực tiểu Xct = -1, xct = 1


Bài 3. Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

2016-07-26_113946

2016-07-26_114118


Bài 4. Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Xem lại kiến thức trong sách giáo khoa.


Bài 5. Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m – 1 có đồ thị là (Cm) m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Xác định m để hàm số:
i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞)
ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞)
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m

Giải: a) Với m = 1 ta có y = 2x² + 2x
Tập xác định D = R. lim y = +∞
y’ = 4x + 2 = 0 ⇔ x = -1/2
Bảng biến thiên

2016-07-26_154914

Đồ thị

2016-07-26_155309

b)

2016-07-26_155644

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞) thì phải có điều kiện:

2016-07-26_155955

c) Xét số nghiệm của phương trình
2x² + 2mx + m – 1 = 0 (*)

2016-07-26_160158


Bài 6 ôn tập chương 1 giải tích 12. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 2
b) Giải bất phương trình f'(x-1) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (c) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f”(x0) = -6

 Hướng dẫn giải bài 6:

a) Tập xác định D = R

2016-07-26_160630

y’ = -3x² + 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1, x = 3

Bảng biến thiên

2016-07-26_160714

b)

2016-07-26_160933


Bài 7 trang 45. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số
y = x³ + 3x² + 1

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m
x³ + 3x² + 1 = m/2
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

Hướng dẫn: a)

2016-07-26_163818

2016-07-26_164556


B. Giải bài tập 8,9,10,11 trang 46 giải tích 12

Bài 8: (SGK trang 46 giải tích lớp 12)

Cho hàm số
f(x) = x³ – 3mx² + 3(2m – 1) x + 1 (m là tham số)
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu
c) Xác định m để f”(x) > 6x

Đáp án bài 8: a) Tập xác định D = R
Đạo hàm f'(x) = 3x² – 6mx + 3(2m – 1) ≥ 0, ∀x ∈ R

⇔Δ = 9m² – 9(2m – 1) = 9(m-1)² ≥ 0 ⇔ m = 1
Hàm số đồng biến trên tập xác định nếu m = 1

b) Hàm số bậc ba có một cực đại một cực tiểu khi tam thức bậc hai đạo hàm có hai nghiệm phân biệt, tức là phải có Δ = 9(m – 1)² > 0 ⇔ m # 1
c) f”(x) = 6x – 6m
f” > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x ⇔ m < 0


Bài 9. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2016-08-01_202112

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x4 – 6x² + 3 = m

Đáp án bài 9:

a) Tập xác định D = R

2016-08-01_204028

Bảng biến thiên:

2016-08-01_204433

Đồ thị

2016-08-01_204749

b) f”(x) = 6x² -6 = 0 ⇔ x = ±1
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm (-1;1) là:
y = f'(-1)(x +1) – 1 ⇔ y = 4x + 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1;-1) là:
y = f'(1)(x – 1) – 1

⇔ y = -4x + 3

c) Ta có x 4 – 6x² + 3 = m
⇔ 1/2×4 – 3x² + 3/2 = m/2
Từ đồ thị ta suy ra:

2016-08-01_210142


Bài 10. Cho hàm số:

y = -x4 + 2mx² – 2m + 1 (m là tham số) có đồ thị là (Cm)
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số
b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành?
c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu.

Giải: a) y’ = -4x³ + 4mx = 4x(-x² + m)
y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc -x² + m = 0
– Nếu m ≤ 0: phương trình y’ = 0 có 1 nghiệm, hàm số có 1 cực trị
– Nếu m > 0 phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm hàm số có 3 cực trị

b)

Đồ thị (Cm) cắt trục hoành nếu phương trình

-x4 + 2mx² – 2m + 1 = 0 (1) có nghiệm

Đặt x² = t ≥ 0 thì (1) trở thành:

t² + 2mt – 2m + 1 = 0 (2)

(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm không âm. Điều này xảy ra ít nhất trong các trường hợp sau:

2016-08-01_212947

Kết hợp i) và ii) ta thấy với mọi m, đồ thị (Cm) luôn cắt trục hoành

c) (Cm) có cực đại, cực tiểu khi đạo hàm y; = 0 có 3 nghiệm. Điều này xảy ra nếu phương trình -x² + m = 0 có 2 nghiệm, tức là khi m > 0


Bài 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x+3)/(x+1)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N
c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất
d) Tiếp tuyến tại 1 điểm S bất kì của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại P và Q. CHứng minh rằng S là trung điểm của PQ
a) Tập xác định D = R \ {-1}

2016-08-01_213556

=> Đồ thị có tiệm cận đứng x = -1
lim y = 1 => Đồ thị có tiệm cận ngang y = 1
y’ = -2/(x+1)² < 0, ∀x ∈ D
Bảng biến thiên

2016-08-01_213900

Đồ thị

2016-08-01_214024

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x + m với (x+3)/(x+1) = 2x + m
(C) là: 2x² + (m +1)x + m -3 = 0 và x + 1 ≠ 0 (*)
Biệt thức của (*)

Δ = (m +1)² – 8(m -3)
= m² – 6m + 25
= (m -3)² + 16 > 0, ∀m nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt tức là đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
c) Tọa độ các giao điểm M,N của 2 đường cong là:

2016-08-01_214646với Δ = (m -3)² + 16. Độ dài đoạn thẳng MN là:

2016-08-01_214727

Từ biểu thức của MN suy ra độ dài MN nhỏ nhất bằng 2√5 khi m = 3

d)

2016-08-01_214942

2016-08-01_215119


Bài 12. Cho hàm số

2016-08-01_215251

a) Giải phương trình f'(sin x) = 0
b) Giải phương trình f”(cos x) = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0

Giải: a) f'(x) = x² – x – 4
f'(sĩn) = 0 ⇔ sin²x – sin x – 4 = 0
Phương trình trên vô nghiệm vì sin²x – sin x ≤ 2, ∀x ∈R, do đó
sin²x – sin x – 4 ≤ -2, ∀x ∈R
b) f”(cos x) = 0 ⇔ 2 cosx – 1 = 0 ⇔ cosx = 1/2 ⇔ x = ± π/3 + k2π, k ∈ Z
c) f”(x) = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = 1/2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x = 1/2 là:

2016-08-01_220416

Bài tập trắc nghiệm

Chọn khẳng định đúng trong các bài sau đây

Bài 1. Số điểm cực trị của hàm số y = -1/3x³ – x + 7 là:
(A) 1;      (B) 0;         (C) 3;         (D) 2

Chọn B. y’ = -x² – 1 < 0, ∀x ∈ r. Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định. Do đó hàm số không có cực trị


Bài 2. Số điểm cực đại của hàm số y = x4 + 100 là:

(A) 0;         (B) 1;        (C) 2;         (D) 3.

Chọn A. y’ = 4x³ = 0 ⇔ x = 0 . Đạo hàm y’ < 0 với x < 0 và y’ > 0 với x > 0
Vậy hàm số chỉ có 1 cực tiểu tại x = 0 và không có điểm cực đại.


Bài 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (1-x)/(1 + x)

A. 1          B. 2          C. 3                 D. 0

Chọn B. 2

2016-08-01_222106


Bài 4. Hàm số y = 2x – 5/ x + 3 đồng biến trên:
A. R B. (-∞; 3) C. (-3); +∞) (D) R \ {-3}

Chọn D. Tập xác định của hàm số: D = R\ {-3}

2016-08-01_222630

Hàm số đồng biến trên tập xác định


Bài 5. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y = 1/3x³ – 2x² + 3x – 5
A. Song song với đường thẳng x = 1
B. Song song với trục hoành
C. Có hệ số góc dương
D. CÓ hệ số góc bằng -1

Chọn B: y’ = x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x =1, x = 3
y” = 2x – 4, y”(1) = -2, y”(3) = 2
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu có hệ số góc là y'(3) = 0. Do đó, tiếp tuyến song song với trục hoành.